Question

2．坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρcos（$θ-\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$．
（1）求曲线C₁的普通方方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（2）若P是曲线C₂上的一点，过点P向曲线C₁引切线，切点为Q，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）用x，y表示cosα，sinα，根与同角三角函数的关系消去参数得到C₁的普通方程，将C₂的极坐标方程左侧展开即可得到直角坐标方程；
（2）根据切线的性质可得当P到圆心的距离最小时，|PQ|也最小．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），∴$\left\{\begin{array}{l}{cosα=\frac{x+2}{-2}}\\{sinα=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，
∴曲线C₁的普通方程为（x+2）²+y²=4．
∵ρcos（$θ-\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．∴$\frac{\sqrt{2}}{2}ρcosθ+\frac{\sqrt{2}}{2}ρsinθ=\sqrt{2}$，即ρcosθ+ρsinθ-2=0．
∴曲线C₂的直角坐标方程为x+y-2=0．
（2）设曲线C₁的圆心为M（-2，0），半径r=2，则M到直线C₂的距离d=$\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$．
∵PQ²=MP²-r²=MP²-4，∴MP取得最小值2$\sqrt{2}$时，PQ取得最小值．
∴|PQ|的最小值为$\sqrt{{d}^{2}-4}$=2．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系．通常转化为直角坐标取求解．