Question

2．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为π，且其图象经过点（$\frac{7π}{12}$，0），则函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值与最小值的和为（　　）

• A． 1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． 0
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最大值和最小值，可得函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值与最小值的和．

解答 解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为π，
可得$\frac{2π}{ω}$=π，求得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）．
再根据其图象经过点（$\frac{7π}{12}$，0），可得sin（$\frac{7π}{6}$+φ）=0，∴φ=-$\frac{π}{6}$，f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
则函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$时，函数f（x）的最小值为-$\frac{1}{2}$；当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）的最大值为1，
的最大值与最小值的和为-$\frac{1}{2}$+1=$\frac{1}{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．