Question

11．与圆（x+1）²+y²=1和圆（x-5）²+y²=9都相切的圆的圆心轨迹是（　　）

• A． 椭圆和双曲线
• B． 两条双曲线
• C． 双曲线的两支
• D． 双曲线的一支

Answer 1

分析 由题意画出图形，利用圆心距与半径的关系结合双曲线的定义得答案．

解答 解：如图，设动圆M的半径为r，
当动圆M与圆C₁、C₂均外切时，|MC₁|=r+1，|MC₂|=r+3，
∴|MC₂|-|MC₁|=2，这表明动点M到两定点C₂，C₁的距离之差是常数2．
根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支；
当动圆M与圆C₁、C₂均内切时，|MC₁|=r-1，|MC₂|=r-3，
∴|MC₁|-|MC₂|=2，这表明动点M到两定点C₁，C₂的距离之差是常数2．
根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的右支；
当动圆M与圆C₁外切，与C₂内切时，|MC₁|=r+1，|MC₂|=r-3，
∴|MC₁|-|MC₂|=4，
∴动点P的轨迹是以C₁，C₂为焦点，实轴长为4的双曲线右支；
当动圆M与圆C₁内切，与C₂外切时，|MC₁|=r-1，|MC₂|=r+3，
∴|MC₂|-|MC₁|=4，
∴动点P的轨迹是以C₁，C₂为焦点，实轴长为4的双曲线左支．
综上，与圆（x+1）²+y²=1和圆（x-5）²+y²=9都相切的圆的圆心轨迹是两条双曲线．
故选：B．

点评 本题考查曲线与方程，考查了圆与圆的位置关系，考查了椭圆与双曲线的定义，是中档题．