Question

6．函数f（x）=x³-ax²+x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是（-∞，2]．

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为a≤$\frac{{3x}^{2}+1}{2x}$在（1，2）恒成立，令g（x）=$\frac{{3x}^{2}+1}{2x}$，求出g（x）的导数，得到g（x）的单调区间，从而求出a的范围即可．

解答 解：f′（x）=3x²-2ax+1，
若函数f（x）=x³-ax²+x在区间（1，2）上单调递增，
则f′（x）≥0在（1，2）恒成立，
即3x²-2ax+1≥0在（1，2）恒成立，
∴a≤$\frac{{3x}^{2}+1}{2x}$在（1，2）恒成立
令g（x）=$\frac{{3x}^{2}+1}{2x}$，g′（x）=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{2x}^{2}}$＞0在（1，2）恒成立，
∴g（x）在（1，2）递增，而g（1）=2，
∴a≤2，
故答案为：（-∞，2]．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．