Question

1．设函数f（x）=f（1）lnx+f′（1）x-$\frac{1}{2}$x²，y=f′（x）是函数y=f（x）的导函数．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=（$\frac{3}{2}$+a-$\frac{1}{a}$）x+b有唯一实根x₀，求当a＞0时，$\frac{1+b}{{{x}_{0}}^{2}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）对f（x）求导，结合f（1），及f′（1），得到f（x）的解析式．
（2）对f（x）求导，由定义域的限制，得到单调区间．
（3）将等式的等价结论找到后，根据方程根，求得分式的最值．

解答 解：（1）∵f（x）=f（1）lnx+f′（1）x-$\frac{1}{2}$x²，
∴f′（x）=f（1）$\frac{1}{x}$+f′（1）-x，
∴f′（1）=f（1）+f′（1）-1，
∴f（1）=1，
∵f（1）=f′（1）-$\frac{1}{2}$，
∴f′（1）=$\frac{3}{2}$，
∴f（x）=lnx+$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2}$x²．
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）=$\frac{（-2x-1）（x-2）}{2x}$，
∴f（x）的单调增区间是（0，2），单调减区间是（2，+∞）．
（3）∵f（x）=（$\frac{3}{2}$+a-$\frac{1}{a}$）x+b有唯一实根x₀，
等价于h（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²+（$\frac{1}{a}$-a）x-b=0有唯一实根，h（x）的定义域为（0，+∞），
h′（x）=$\frac{-a{x}^{2}+（1-{a}^{2}）x+a}{ax}$，
当a＞0时，h（x）在区间（0，$\frac{1}{a}$）单调递增，在区间（$\frac{1}{a}$，+∞）单调递减，
h（x）的最大值为h（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{2{a}^{2}}$-lna-1-b=0，且x₀=$\frac{1}{a}$，
∴令g（a）=$\frac{1+b}{{{x}_{0}}^{2}}$=a²（$\frac{1}{2{a}^{2}}$-lna）=$\frac{1}{2}$-a²lna，
∴g′（a）=-a（2lna-$\frac{1}{2}$），
∴g（a）在区间（0，$\root{4}{e}$）上单调递增，在区间（$\root{4}{e}$，+∞）上单调递减，
∴g（a）的最大值为g（$\root{4}{e}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}\sqrt{e}$．

点评 本题考查函数求导，以及与方程根结合，求解参数最值的问题．