Question

10．已知命题p：点M（a，a+1）在圆C：x²+（y-1）²=8的外部，命题q：不等式ax²-2（a+1）x+a+1＜0对任意的实数x恒成立．若“p∨q”为假，求a的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：点M（a，a+1）在圆C：x²+（y-1）²=8的外部，可得a²+（a+1-1）²＞8，解得a范围．命题q：不等式ax²-2（a+1）x+a+1＜0对任意的实数x恒成立．a=0时不成立，可得$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△=4（a+1）^{2}-4a（a+1）＜0}\end{array}\right.$，解得a范围．由于“p∨q”为假，可得p与q都为假命题．

解答 解：命题p：点M（a，a+1）在圆C：x²+（y-1）²=8的外部，∴a²+（a+1-1）²＞8，解得a＞2或a＜-2．
命题q：不等式ax²-2（a+1）x+a+1＜0对任意的实数x恒成立．a=0时不成立，∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△=4（a+1）^{2}-4a（a+1）＜0}\end{array}\right.$，解得a＜-1．
∵“p∨q”为假，
∴p与q都为假命题，∴$\left\{\begin{array}{l}{-2≤a≤2}\\{a≥-1}\end{array}\right.$，
解得-1≤a≤2．
∴a的取值范围是[-1，2]．

点评 本题考查了点与圆的位置关系、一元二次不等式的解法与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．