Question

20．正三棱锥A-BCD的底面△BCD的边长为$2\sqrt{2}，M$是AD的中点，且BM⊥AC，则该棱锥外接球的表面积为12π．

Answer 1

分析 由正三棱锥的定义，可得AC⊥BD，又AC⊥BM，且BD，BM为相交两直线，运用线面垂直的判定和性质定理，可得AB，AC，AD两两垂直，再由正三棱锥A-BCD补成以AB，AC，AD为棱的正方体，则外接球的直径为正方体的对角线，再由表面积公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由正三棱锥A-BCD的定义，可得A在底面上的射影为底面的中心，
由线面垂直的性质可得AC⊥BD，
又AC⊥BM，且BD，BM为相交两直线，
可得AC⊥平面ABD，即有AC⊥AB，AC⊥AD，
可得△ABC，△ACD为等腰直角三角形，
故AB=AC=AD=2，
将正三棱锥A-BCD补成以AB，AC，AD为棱的正方体，
则外接球的直径为正方体的对角线，
即有2R=2$\sqrt{3}$，可得R=$\sqrt{3}$，
由球的表面积公式可得S=4πR²=12π．
故答案为：12π．

点评 本题考查正三棱锥的外接球的表面积的求法，注意运用线面垂直的判定和性质定理的运用，以及球与正三棱锥的关系，考查运算能力，属于中档题．