Question

10．已知不同的两点P、Q的分别为（a，b），（3-b，3-a）．
（1）求PQ所在直线的倾斜角α的值；
（2）若直线l₁：mx+2y-1=0与线段PQ的垂直平分线l₂垂直，求l₁与l₂的交点坐标．

Answer 1

分析 （1）tanα=$\frac{3-a-b}{3-b-a}$=1，α∈（0°，180°），即可解出．
（2）线段PQ的中点M$（\frac{3-b+a}{2}，\frac{3-a+b}{2}）$，其斜率为-1，利用点斜式化为：y+x-3=0．又直线l₁：mx+2y-1=0与l₂垂直，可得$-\frac{m}{2}$×（-1）=-1，解得m．即直线l₁的方程，联立解出即可得出．

解答 解：（1）tanα=$\frac{3-a-b}{3-b-a}$=1，α∈（0°，180°），∴α=45°．
（2）线段PQ的中点M$（\frac{3-b+a}{2}，\frac{3-a+b}{2}）$，其斜率为-1，
可得点斜式：y-$\frac{3-a+b}{2}$=-$（x-\frac{3-b+a}{2}）$，化为：y+x-3=0．
又直线l₁：mx+2y-1=0与l₂垂直，
∴$-\frac{m}{2}$×（-1）=-1，解得m=-2．即直线l₁的方程为：2x-2y+1=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{2x-2y+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{4}}\\{y=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$．
∴l₁与l₂的交点坐标P$（\frac{5}{4}，\frac{7}{4}）$．

点评 本题考查了直线的交点求法、相互垂直的直线斜率之间的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．