Question

8．（Ⅰ）求函数$y=\sqrt{2sinx+\sqrt{3}}$的定义域．
（Ⅱ）已知$sin（{540°}+α）=-\frac{4}{5}$，α为第二象限角．分别求cos（α-270°）及$\frac{{{{[sin（{{180}°}-α）+cos（{{360}°}-α）]}^2}}}{{tan（{{180}°}+α）}}$
的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得$2sinx+\sqrt{3}≥0$，解得$-\frac{π}{3}+2kπ≤x≤\frac{4π}{3}+2kπ$（k∈Z），从而可求定义域．
（Ⅱ）由已知利用诱导公式可得$sinα=\frac{4}{5}$，利用诱导公式可得cos（α-270°）的值，根据角的范围，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，利用诱导公式化简所求即可计算得解．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得：$2sinx+\sqrt{3}≥0$，即$sinx≥-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
解得（图象法或单位圆法）：$-\frac{π}{3}+2kπ≤x≤\frac{4π}{3}+2kπ$（k∈Z），
∴所求定义域为[$-\frac{π}{3}+2kπ，\frac{4π}{3}+2kπ$]（k∈Z）
（Ⅱ）由已知$sin（{540°}+α）=-\frac{4}{5}$，可得$sinα=\frac{4}{5}$，
∴cos（α-270°）=$-sinα=-\frac{4}{5}$，
又∵α为第二象限角，
∴$cosα=-\frac{3}{5}$，
于是：$\frac{{{{[sin（{{180}°}-α）+cos（{{360}°}-α）]}^2}}}{{tan（{{180}°}+α）}}$=$\frac{{{{（sinα+cosα）}^2}}}{tanα}=-\frac{3}{100}$．

点评 本题主要考查了三角函数定义域及其求法，考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．