Question

17．如图，平面内有三个向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$，其中$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为120°，$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角为30°，且$|\overrightarrow{OA}|=2，|\overrightarrow{OC}|=4\sqrt{3}$，若$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}（λ，μ∈R）$，则λ=4．

Answer 1

分析 以OC为对角线，以OA，OB方向为邻边作平行四边形，求出平行四边形OA方向上的边长即可得出答案．

解答 解：过点C作CE∥OB交OA的延长线于点E，过点C作CF∥OA交OB的延长线于点F，则$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}$．
∴∠OCE=∠COF=90°，∵∠COE=30°，∴CE=$\frac{1}{2}$OE，
∵CE²+OC²=OE²，∴CE=4，OE=8．
∵OA=2，∴λ=$\frac{OE}{OA}$=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，向量运算的几何意义，属于基础题．