Question

16．函数f（x）=log_a（x-4）-1（a＞0，a≠1）所经过的定点为（m，n），圆C的方程为（x-m）²+（y-n）²=r²（r＞0），直线$\sqrt{3}x+y+1-2\sqrt{3}=0$被圆C所截得的弦长为$\sqrt{73}$．
（1）求m、n以及r的值；
（2）设点P（2，-1），探究在直线y=-1上是否存在一点B（异于点P），使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比$\frac{{|{TB}|}}{{|{TP}|}}=k$（k为常数）．若存在，请求出点B坐标以及常数k的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意和对数函数过定点可得m=5，n=-1，由圆的弦长公式可得r的方程，解方程可得；
（2）假设在直线y=-1上存在一点B（异于点P）满足题意，下面证明：设T（x，y）为圆上任意一点，若点T在S和Q时，则有$\frac{{|{SB}|}}{{|{SP}|}}=\frac{{|{QB}|}}{{|{QP}|}}$，解得$m=-\frac{10}{3}$，然后由距离公式证明在直线y=-1上存在一点$B（-\frac{10}{3}，-1）$，使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比$\frac{{|{TB}|}}{{|{TP}|}}=\frac{5}{3}$．

解答 解：（1）在函数f（x）=log_a（x-4）-1（a＞0，a≠1）中，
当x=5时，y=-1，∴必经过的定点为点（5，-1），即m=5，n=-1，
由于直线AP被圆C所截得的弦长为$\sqrt{73}$，圆C半径为r，设圆心到直线AP的距离为d，
由于圆心（5，-1）到直线$\sqrt{3}x+y+1-2\sqrt{3}=0$的距离为$d=\frac{{|{5\sqrt{3}-1+1-2\sqrt{3}}|}}{{\sqrt{3}+1}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∴${d^2}+{（\frac{{\sqrt{73}}}{2}）^2}={r^2}$，代入d值解方程可得r=5；
（2）假设在直线y=-1上存在一点B（异于点P），使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比$\frac{{|{TB}|}}{{|{TP}|}}=k$（k为常数）．
圆与直线y=-1的交点为S（0，-1），Q（10，-1），设B（m，-1）（m≠2），而若点T在S和Q时，则有$\frac{{|{SB}|}}{{|{SP}|}}=\frac{{|{QB}|}}{{|{QP}|}}$，
即$\frac{|m|}{2}=\frac{{|{m-10}|}}{8}$，解得$m=-\frac{10}{3}$，
下面证明：设T（x，y）为圆上任意一点，则：$|{TB}|=\sqrt{{{（x+\frac{10}{3}）}^2}+{{（y+1）}^2}}，|{TP}|=\sqrt{{{（x-2）}^2}+{{（y+1）}^2}}$，$\frac{{|{TB}|}}{{|{TP}|}}=\frac{{\sqrt{{{（x+\frac{10}{3}）}^2}+{{（y+1）}^2}}}}{{\sqrt{{{（x-2）}^2}+{{（y+1）}^2}}}}=\frac{{\sqrt{{x^2}+{{（y+1）}^2}+\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}}}}{{\sqrt{{x^2}+{{（y+1）}^2}-4x+4}}}$=$\frac{{\sqrt{{x^2}+{{（y+1）}^2}+\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}}}}{{\sqrt{{x^2}+（y+1{）^2}-4x+4}}}=\frac{{\sqrt{10x+\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}}}}{{\sqrt{6x+4}}}=\frac{5}{3}$，
∴在直线y=-1上存在一点$B（-\frac{10}{3}，-1）$，使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比$\frac{{|{TB}|}}{{|{TP}|}}=\frac{5}{3}$．

点评 本题考查圆的方程的综合应用，涉及圆的弦长问题和距离公式以，属中档题．