Question

9．是否存在角α∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），β∈（0，π），使得等式sinα=$\sqrt{2}$sinβ，$\sqrt{3}$cosα=$\sqrt{2}$cosβ同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 首先由诱导公式简化已知条件并列方程组，再利用公式sin²α+cos²α=1解方程组，最后根据特殊角三角函数值求出满足要求的α、β．

解答 解：存在满足要求的α、β．
∵由已知：sinα=$\sqrt{2}$sinβ，①，cosα=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$cosβ②
①²+②²得2sin²β+$\frac{2}{3}$cos²β=1，
∴cos²β=$\frac{3}{4}$ 即cosβ=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵β∈（0，π），
∴β=$\frac{π}{6}$ 或β=$\frac{5π}{6}$．
将cosβ=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$代入②得cosα=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．又α∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴α=$\frac{π}{4}$，β=$\frac{π}{6}$代入可知，符合．
将α=-$\frac{π}{4}$代入①可知，不符合．
将β=$\frac{5π}{6}$代入②可知，不符合．
综上可知α=$\frac{π}{4}$，β=$\frac{π}{6}$．

点评 本题综合考查诱导公式、同角正余弦关系式及特殊角三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，解题时要注意验根，属于中档题．