Question

16．如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=1，AB=2．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：平面PMC⊥平面PCD；
（3）求点D到平面PMC的距离．

Answer 1

分析 （1）欲证MN∥平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面PAD内一直线平行即可，设PD的中点为E，连接AE、NE，易证AMNE是平行四边形，则MN∥AE，而AE?平面PAD，NM?平面PAD，满足定理所需条件；
（2）欲证平面PMC⊥平面PCD，根据面面垂直的判定定理可知在平面PMC内一直线与平面PCD垂直，而AE⊥PD，CD⊥AE，PD∩CD=D，根据线面垂直的判定定理可知AE⊥平面PCD，而MN∥AE，则MN⊥平面PCD，又MN?平面PMC，满足定理所需条件；
（3）利用等体积，求点D到平面PMC的距离．

解答 （1）证明：设PD的中点为E，连接AE、NE，
由N为PC的中点知EN平行且等于$\frac{1}{2}$DC，
又ABCD是矩形，∴DC平行且等于AB，∴EN平行且等于$\frac{1}{2}$AB
又M是AB的中点，∴EN平行且等于AM，
∴AMNE是平行四边形
∴MN∥AE，而AE?平面PAD，NM?平面PAD
∴MN∥平面PAD
（2）证明：∵PA=AD，∴AE⊥PD，
又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AE，∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，
∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，
又MN?平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD．
（3）解：设点D到平面PMC的距离为h，则$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×1=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{2}h$，
∴点D到平面PMC的距离h=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题主要考查平面与平面垂直的判定，以及线面平行的判定，考查体积的计算，同时考查了空间想象能力和推理能力，以及转化与化归的思想，属于中档题．