Question

4．已知圆C的方程是x²+y²-4x=0，直线l：ax-y-4a+2=0（a∈R）与圆C相交于M、N两点，设P（4，2），则|PM|+|PN|的取值范围是（4，4$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$代入x²+y²-4x=0，可得t²+4（sinα+cosα）t+4=0，利用△＞0，可得sinαcosα＞0，α∈（0，$\frac{π}{2}$），利用根与系数的好像可得|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=4$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），即可得出．

解答 解：把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$，
代入x²+y²-4x=0，可得t²+4（sinα+cosα）t+4=0，
由△=16（sinα+cosα）²-16＞0，sinαcosα＞0，
又α∈[0，π），∴α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴t₁+t₂=-4（sinα+cosα），t₁t₂=4．
∴t₁＜0，t₂＜0．
∴|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=4（sinα+cosα）=4$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
由α∈（0，$\frac{π}{2}$），可得α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（α+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴|PM|+|PN|的取值范围是（4，4$\sqrt{2}$]．
故答案为（4，4$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了直线参数方程的运用、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．