Question

9．设$f（x）=\frac{ax}{x+a}（{a＞0}）$，令a₁=1，a_n+1=f（a_n），又${b_n}={a_n}•{a_{n+1}}，n∈{N^*}$．
（1）证明：数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：a_n+1=$\frac{a•{a}_{n}}{{a}_{n}+a}$．将其变形可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{a}$，由等差数列的定义进而得到答案，进而求得数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n是数列{b_n}的前n项和．由（1）可得b_n=a_n•a_n+1=a²（$\frac{1}{n+a-1}$-$\frac{1}{n+a}$）．利用“裂项求和”的方法求出答案即可．

解答 解：（1）证明：∵a_n+1=f（a_n）=$\frac{a•{a}_{n}}{{a}_{n}+a}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{a}$．
∴$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是首项为1，公差为$\frac{1}{a}$的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）$\frac{1}{a}$．
整理得a_n=$\frac{a}{n+a-1}$；
（2）b_n=a_n•a_n+1=$\frac{a}{n+a-1}$•$\frac{a}{n+a}$=a²（$\frac{1}{n+a-1}$-$\frac{1}{n+a}$）．
设数列{b_n}的前n项和为T_n，则T_n=a²（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a+1}$+$\frac{1}{a+1}$-$\frac{1}{a+2}$+…$\frac{1}{n+a-1}$-$\frac{1}{n+a}$）=a²（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{n+a}$）=a²（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{n+a}$）=a²•$\frac{n+a-a}{a（n+a）}$=$\frac{na}{n+a}$．
∴数列{b_n}的前n项和为$\frac{na}{n+a}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．