Question

3．已知圆O：x²+y²=4和点M（1，a）．
（Ⅰ）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求正数a的值，并求出切线方程；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{2}$，过点M的圆的两条弦AC，BD相互垂直，求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若过点M的圆的切线只有一条，则M在圆上，根据条件即可求a的值及切线方程；
（Ⅱ）根据过点P的圆的两条弦AC、BD互相垂直，得到AC、BD的方程关系即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）由条件知点M在圆O上，所以1+a²=4，则$a=±\sqrt{3}$…（2分）
当$a=\sqrt{3}$时，点M为$（1，\sqrt{3}）$，${k_{OM}}=\sqrt{3}$，${k_{切线}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
此时切线方程为$y-\sqrt{3}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x-1）$，即$x+\sqrt{3}y-4=0$
当$a=-\sqrt{3}$时，点M为$（1，-\sqrt{3}）$，${k_{OM}}=-\sqrt{3}$，${k_{切线}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
此时切线方程为$y+\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x-1）$，即$x-\sqrt{3}y-4=0$
所以所求的切线方程为$x+\sqrt{3}y-4=0$或$x-\sqrt{3}y-4=0$．     …（6分）
（Ⅱ）设O到直线AC，BD的距离分别为d₁，d₂（d₁，d₂≥0），
则$d_1^2+d_2^2=O{M^2}=3$于是$|AC|=2\sqrt{4-d_1^2}，|BD|=2\sqrt{4-d_2^2}$${S_{ABCD}}=\frac{1}{2}|AC|•|BD|=2\sqrt{4-d_1^2}\sqrt{4-d_2^2}≤4-d_1^2+4-d_2^2=8-3=5$…（10分）
当且仅当${d_1}={d_2}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$时取等号
即四边形ABCD面积的最大值为5…（12分）

点评 本题主要考查圆的切线方程以及直线和圆的位置关系，综合性较强，有一点难度．