Question

19．已知数列{a_n}的首项a₁=t，其前n项和为S_n，且满足S_n+S_n+1=n²+2n，若对?n∈N^*，a_n＜a_n+1恒成立，则实数t的取值范围是（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$）．

Answer 1

分析 n=1时，S₁+S₂=1²+2×1，得到a₂=3-2t，当n≥2时，推导出a_n+a_n+1=2n+1，n≥2，由a₂+a₃=5，得到a₃=2t+2，由a₃+a₄=7，得到a₄=5-2t，再由对?n∈N^*，a_n＜a_n+1恒成立，列出不等式组，能求出实数t的取值范围．

解答 解：∵数列{a_n}的首项a₁=t，其前n项和为S_n，且满足S_n+S_n+1=n²+2n，
∴n=1时，S₁+S₂=1²+2×1，即a₁+a₁+a₂=3，
∴a₂=3-2t，
∵S_n+S_n+1=n²+2n，①
当n≥2时，S_n-1+S_n=（n-1）²+2（n-1），②
①-②，得：a_n+a_n+1=2n+1，n≥2．
∴a₂+a₃=5，∴a₃=5-a₂=5-（3-2t）=2t+2，
a₃+a₄=7，∴a₄=7-a₃=7-（2t+2）=5-2t，
∵对?n∈N^*，a_n＜a_n+1恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}＞{a}_{2}}\\{{a}_{4}＞{a}_{3}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2t+2＞3-2t}\\{5-2t＞2t+2}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{4}＜t＜\frac{3}{4}$，
∴实数t的取值范围是（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$）．
故答案为：（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$）．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查数列的通项与前n项和的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．