Question

已知数列{α_n}的前n项和为S_n，α₁=l，S_n=（2ⁿ-1）α_n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{α_n}是等比数列；
（2）记T_n=n×α₁+（n-1）α₂+（n-2）α₃+…+2×α_n-1+1×α_n（n∈N^*），求L；
（3）证明：当n≥2（n∈N^*）时，（1+α₁）（1+α₂）×…×（1+α_n）≤6（1-2α_n+1）．

Answer 1

分析：（1）根据数列递推式，再写一式，两式相减，化简可得数列{a_n}是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列；
（2）求得数列的通项，利用错位相减法可求数列的和；
（3）用数学归纳法证明，关键是第二步设n=k（k≥2，k∈N^*）时成立，即（1+α₁）（1+α₂）×…×（1+α_k）≤6（1-2α_k+1），证明n=k+1时，结论成立，利用分析法进行证明．

解答：（1）证明：∵S_n=（2ⁿ-1）a_n，∴S_n+1=（2ⁿ⁺¹-1）a_n+1，
两式相减可得：a_n+1=（2ⁿ⁺¹-1）a_n+1-（2ⁿ-1）a_n，
∴a_n+1=

1

2

a_n，
∵a₁=l，
∴数列{a_n}是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列；
（2）解：由（1）知，a_n=(

1

2

)n-1
∵T_n=n×a_l+（n-1）a₂+（n-2）a₃+…+2×a_n-1+l×a_n，
∴

1

2

T_n=n×a₂+（n-1）a₃+（n-2）a₄+…+2×a_n+l×a_n+1，
∴

1

2

T_n=n×a_l-（a₂+a₃+…+a_n）-

1

2

a_n=n-1+

1

2n

∴Tn=2n-2+

1

2n-1

（3）证明：①当n=2时，左边=（1+α₁）（1+α₂）=3，右边=6（1-2α_n+1）=3，左边=右边，结论成立；
②设n=k（k≥2，k∈N^*）时成立，即（1+α₁）（1+α₂）×…×（1+α_k）≤6（1-2α_k+1），
则n=k+1时，左边=（1+α₁）（1+α₂）×…×（1+α_k）（1+α_k+1）≤6（1-2α_k+1）（1+α_k+1）
下证6（1-2α_k+1）（1+α_k+1）≤6（1-2α_k+2），
即证：-α_k+1-2α_k+1²≤-2α_k+2，
即证：(

1

2

)k+(

1

2

)2k-1≥(

1

2

)k
即证：(

1

2

)2k-1≥0，显然成立．
由①②可知，当n≥2（n∈N^*）时，（1+α₁）（1+α₂）×…×（1+α_n）≤6（1-2α_n+1）．

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的求和，考查数学归纳法证明不等式，确定数列的通项是关键．