Question

已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，Sn=n2+2n+λ，求证：数列{a_n}为等差数列的充要条件是λ=0．

Answer 1

分析：根据等差数列的定义结合充要条件的定义进行证明即可．

解答：解：当n=1时，a₁=3+λ，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n+λ-[（n-1）²+2（n-1）+λ]=2n+1，
∴要使数列{a_n}为等差数列，则a₁ 满足a_n，即a₁=3，
∴3+λ=3，
解得λ=0，
当λ=0时，a_n=2n+1为等差数列．
∴数列{a_n}为等差数列的充要条件是λ=0．

点评：本题主要考查充要条件的应用，利用等差数列的定义和通项公式是解决本题的关键，要求熟练掌握n≥2时，a_n=S_n-S_n-1的关系．