Question

已知定义域为R的函数f(x)=

-2x+a

2x+1

是奇函数．
（Ⅰ）求实数a值；
（Ⅱ）判断并证明该函数在定义域R上的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）是R上的奇函数，知f（0）=0，从而求出a的值；
（Ⅱ）用函数单调性的定义证明f（x）是R上的减函数．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，即

-20+a

20+1

=0；
∴a=1，即f(x)=

-2x+1

2x+1

；
此时f(-x)=

-2-x+1

2-x+1

=

- 1 2x +1

1 2x +1

=

-1+2x

1+2x

=-f(x)是奇函数；
∴a的值是：a=1．
（Ⅱ）f（x）是R上的减函数，证明如下，
设x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

-2x1+1

2x1+1

-

-2x2+1

2x2+1

=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

；
∵x₁＜x₂，∴0＜2x1＜2x2，
∴2（2x2-2x1）＞0，（2x1+1）（2x2+1）＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在R上是减函数．

点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性的判定和证明，是基础题目．