Question

设抛物线C的方程为：y²=2px（p＞0），焦点为F，过点F作直线交抛物线C于A、B两点，且

AF

=2

F B

（1）若设直线AB的方程为x=ay+

p

2

的形式，求a²的值；
（2）若线段AB的中点到抛物线的准线的距离为

9

4

，求C的方程；
（3）设P（x₀，y₀）（x₀＞2）是（2）中所求抛物线C上的动点，定点Q（2，0），线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M（m，0），求实数m的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）把直线AB的方程与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，再利用数量积运算即可得出；
（2）利用根与系数的关系与中点坐标关系、点到直线的距离公式即可得出；
（3）利用中点坐标公式、线段的垂直平分线方程、基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（1）由抛物线y²=2px（p＞0）可得焦点F(

p

2

，0)，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

x=ay+ p 2 y2=2px

得：y²-2pay-p²=0，
△=4p²a²+4p²＞0，∴y₁+y₂=2pa，y1y2=-p2．
∵

AF

=2

FB

，∴y₁=-y₂，
可得：

y1=4pa y2=-2pa

代入y1y2=-p2得a2=

1

8

．
（2）准线方程为x=-

p

2

，设AB的中点为D（x_D，y_D），则有xD=

x1+x2

2

=

a(y1+y2)+p

2

=(a2+

1

2

)p，
由（1）知：a2=

1

8

，代入得xD=

5

8

p，
又线段AB的中点到抛物线的准线的距离为

9

4

，
∴xD+

p

2

=

9

4

，解得p=2．
∴抛物线的方程为y²=4x．
（3）P（x₀，y₀），Q（2，0），则PQ的中点为(

x0+2

2

，

y0

2

)，PQ的斜率为

y0

x0-2

，
∴PQ的中垂线的方程为：y-

y0

2

=-

x0-2

y0

(x-

x0+2

2

)，
令y=0，可得m=

y 2 0

2(x0-2)

+

x0+2

2

，
又点P（x₀，y₀）在抛物线上，则

y

2 0

=4x0，
代入得m=

4x0

2(x0-2)

+

x0+2

2

=4+

8

2(x0-2)

+

x0-2

2

，
∵x₀＞2，∴x₀-2＞0，
∴m=4+

8

2(x0-2)

+

x0-2

2

≥4+2

2

，当且仅当x0=2+2

2

时取等，
∴m的最小值为4+2

2

．

点评：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、中点坐标公式、向量的运算、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．