【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC⊥BC,AB⊥BB1 , AC=BC=BB1 , D为AB的中点,且CD⊥DA1 .
(1)求证:BC1∥平面DCA1;
(2)求BC1与平面ABB1A1所成角的大小.
【答案】
(1)证明:如图一,连接AC1与A1C交于点K,连接DK.
在△ABC1中,D、K为中点,∴DK∥BC1
又DK平面DCA1,BC1平面DCA1,∴BC1∥平面DCA1、
(2)证明:(方法一)如图二,∵AC=BC,D为AB的中点,∴CD⊥AB、
又CD⊥DA1,AB∩DA1=D,∴CD⊥平面ABB1A1、
取A1B1的中点E,又D为AB的中点,∴DE、BB1、CC1平行且相等,
∴DCC1E是平行四边形,∴C1E、CD平行且相等.
又CD⊥平面ABB1A1,∴C1E⊥平面ABB1A1,∴∠EBC1即所求角、
由前面证明知CD⊥平面ABB1A1,∴CD⊥BB1,
又AB⊥BB1,AB∩CD=D,∴BB1⊥平面ABC,∴此三棱柱为直棱柱.
设AC=BC=BB1=2,∴ , ,∠EBC1=30°、
(方法二)如图三,∵AC=BC,D为AB的中点,∴CD⊥AB、
又CD⊥DA1,AB∩DA1=D,∴CD⊥平面ABB1A1、
取DA1的中点F,则KF∥CD,∴KF⊥平面ABB1A1.
∴∠KDF即BC1与平面ABB1A1所成的角.
由前面证明知CD⊥平面ABB1A1,∴CD⊥BB1,
又AB⊥BB1,AB∩CD=D,∴BB1⊥平面ABC,∴此三棱柱为直棱柱.
设AC=BC=BB1=2,∴ , ,∴∠KDF=30°
【解析】(1)连接AC1与A1C交于点K,连接DK.根据三角形中位线定理,易得到DK∥BC1 , 再由线面平行的判定定理得到BC1∥平面DCA1;(2)方法一:由AC=BC,D为AB的中点,取A1B1的中点E,又D为AB的中点,得到DCC1E是平行四边形,则∠EBC1即为BC1与平面ABB1A1所成角的二面角,解三角形即可求出答案.方法二:由AC=BC,D为AB的中点,取DA1的中点F,则∠KDF即BC1与平面ABB1A1所成的角.解三角形即可求出答案.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行;已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则.
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【题目】如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB= ,AF=1,M是线段EF的中点.
(1)求证:AM∥平面BDE;
(2)求证:AM⊥平面BDF;
(3)求A点到面BDF的距离.
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【题目】100辆汽车通过某一段公路时,时速的频率分布直方图如图所示,则时速在[50,70)的汽车大约有( )
A.60辆
B.80辆
C.70辆
D.140辆
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【题目】【2017福建三明5月质检】如图,在四棱锥中,侧面底面,底面是平行四边形, , , , 为的中点,点在线段上.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)试确定点的位置,使得直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等.
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【题目】已知在平面坐标系内,O为坐标原点,向量 =(1,7), =(5,1), =(2,1),点M为直线OP上的一个动点.
(1)当 取最小值时,求向量 的坐标;
(2)在点M满足(I)的条件下,求∠AMB的余弦值.
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【题目】已知函数f(x)=x2+2x+a
(1)当 时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若对于任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】平面直角坐标系xOy中,过椭圆M: (a>b>0)右焦点的直线x+y﹣ =0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为 .
(Ⅰ)求M的方程
(Ⅱ)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.
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【题目】一个化肥厂生产甲种混合肥料1车皮、乙种混合肥料1车皮所需要的主要原料如表:
原料 | 磷酸盐(单位:吨) | 硝酸盐(单位:吨) |
甲 | 4 | 20 |
乙 | 2 | 20 |
现库存磷酸盐8吨、硝酸盐60吨,计划在此基础上生产若干车皮的甲、乙两种混合肥料.
(1)设x,y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数,试列出x,y满足的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)若生产1车皮甲种肥料,利润为3万元;生产1车皮乙种肥料,利润为2万元.那么分别生产甲、乙两种肥料多少车皮,能够产生最大利润?最大利润是多少?
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