Question

【题目】已知函数f（x）=x2+2x+a
（1）当 时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若对于任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a= 时，f（x）＞1即 ，化简得2x2+4x﹣1＞0，

解得x＞﹣1+ 或x＜﹣1﹣ ，

∴不等式f（x）＞1的解集为：

（2）解：f（x）＞0即x2+2x+a＞0对x∈[1，+∞）恒成立，可化为a＞﹣x2﹣2x对x∈[1，+∞）恒成立，

令g（x）=﹣x2﹣2x，可知g（x）在[1，+∞）上单调递减，

∴当x=1时，gmax（x）=﹣3，

∴a＞﹣3．

【解析】（1）a= 时，化简不等式，根据二次不等式的求解方法可得结果；（2）f（x）＞0即x2+2x+a＞0对x∈[1，+∞）恒成立，分离出参数a后转化为二次函数的最值问题可求；
【考点精析】利用解一元二次不等式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数;二判：判断对应方程的根;三求：求对应方程的根;四画：画出对应函数的图象;五解集：根据图象写出不等式的解集;规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边．