Question

20．已知直线l与抛物线y²=x相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，若y₁y₂=-1，
（1）求证：直线l过定点M，并求点M的坐际；
（2）求证：OA⊥OB；
（3）求△AOB的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1 ） 设M点的坐标为（x，0），直线l方程为 x=my+x，代入y²=x得y²-my-x=0 可证得M点的坐标为（1，0）．
（2）根据y₁y₂=-1结合向量的坐标运算得出OA⊥OB．
（3）直线AB过点（1，0），OA⊥OB，当直线AB过（1，0）且垂直于x轴时，△AOB的面积的取最小值．由此能求出结果．

解答 （1 ） 证明：设M点的坐标为（x，0），直线l方程为 x=my+x，代入y²=x得
y²-my-x=0        ①，
∵y₁、y₂是此方程的两根，
∴x=-y₁y₂=1，即M点的坐标为（1，0）．
（2）证明：∵y₁y₂=-1
∴x₁x₂+y₁y₂=y₁²y₂²+y₁y₂=y₁y₂（y₁y₂+1）=0，
∴OA⊥OB．
（3）解：由方程①，y₁+y₂=m，y₁y₂=-1，且|OM|=x=1，
于是S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OM||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}\sqrt{{m}^{2}+4}$≥1，
∴当m=0时，△AOB的面积取最小值1．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意抛物线性质的合理运用．