Question

自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A-C-D-B，乙线路是A-E-F-G-H-B，其中CD段，EF段，GH段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表所示．

	CD段	EF段	GH段
堵车概率
平均堵车时间 (单位：小时)		2	1

 
经调查发现，堵车概率在上变化，在上变化．
在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到下表数据．

堵车时间（单位：小时）	频数
[0,1]	8
(1, 2]	6
(2, 3]	38
(3, 4]	24
(4, 5]	24

 
（1）求段平均堵车时间的值；
（2）若只考虑所花汽油费的期望值大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．

Answer 1

（1）3；（2）.

解析试题分析：本题考查利用频率分布表求平均数，相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量分布列，数学期望，几何概型等基础知识；考查运用统计、概率、数学期望等数学知识解决实际问题的能力，以及运算求解能力；考查数形结合数学思想方法.第一问，用总的堵车时间除以总人数100人，即得到平均堵车时间；第二问，利用独立事件求出每种情况的概率，选择甲路线说明甲需汽油费少，利用线性规划化画出区域图，再利用几何概型求概率；法二，分别求EF路段和GH路段的期望再相加求乙路线多花汽油费的期望.
试题解析：（1）    2分
3．                4分
（2）设走甲线路所花汽油费为元，
则．                 5分
法一：设走乙线路多花的汽油费为元，∵段与段堵车与否相互独立，
∴，
，                   7分
．       8分
∴走乙线路所花的汽油费的数学期望为．       9分
依题意，选择走甲线路应满足 ，          10分
即，又，

（选择走甲线路）．        13分
法二：在EF路段多花汽油费的数学期望是元，         6分
在GH路段多花汽油费的数学期望是元，            7分
因为EF、GH路段堵车与否相互独立，
所以走乙路线多花汽油费的数学期望是元．               8分
以下解法同法一．
考点：利用频率分布表求平均数，相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量分布列，数学期望，几何概型.