Question

已知数列{a_n}的首项a₁=a，其中a∈N^*，an+1=

an 3 ，an=3l，l∈N* an+1，an≠3l，l∈N*

，令集合A={x|x=an，n∈N*}．
（1）若a₃是数列{a_n}中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；
（2）求证：对?k∈N^*，恒有ak+3≤

1

3

ak+2成立；
（3）求证：{1，2，3}⊆A．

Answer 1

分析：（1）根据数列递推式，结合a₃是数列{a_n}中首次为1的项，可得结论；
（2）分类讨论，a_k被3除余1，2，0，结合数列递推式，即可得出结论；
（3）先证明若a_k＞3，则a_k＞a_k+3，再证明数列{a_n}中必存在某一项a_m≤3，即可得出结论．

解答：（1）解：由题意，2，3，1；9，3，1；
（2）证明：若a_k被3除余1，则由已知可得a_k+1=a_k+1，ak+2=ak+2，ak+3=

1

3

(ak+2)；
若a_k被3除余2，则由已知可得a_k+1=a_k+1，ak+2=

1

3

(ak+1)，ak+3≤

1

3

(ak+1)+1；
若a_k被3除余0，则由已知可得ak+1=

1

3

ak，ak+3≤

1

3

ak+2，所以ak+3≤

1

3

ak+2，
（3）证明：由（2）可得ak-ak+3≥ak-(

1

3

ak+2)=

2

3

(ak-3)，
所以，对于数列中的任意一项a_k，“若a_k＞3，则a_k＞a_k+3”．
因为ak∈N*，所以a_k-a_k+3≥1．
所以数列{a_n}中必存在某一项a_m≤3（否则会与上述结论矛盾！）
若a_m=3，则a_m+1=1，a_m+2=2；若a_m=2，则a_m+1=3，a_m+2=1，若a_m=1，则a_m+1=2，a_m+2=3，
由递推关系易得{1，2，3}⊆A．

点评：本题考查数列递推式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．