Question

函数F（x）=（x²+

1

x

）ⁿ+（

1

x2

+x）ⁿ（n是正整数） 在区间[

1

2

，2]上的最大值和最小值的积为

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用,二项式定理

分析：运用二项式定理，将F（x）展开，合并得到，F（x）=

C

0 n

(x2n+

1

x2n

)+

C

1 n

（x2n-3+

1

x2n-3

）+…+

C

r n

(x2n-3r+

1

x2n-3r

)+…+

C

n n

(xn+

1

xn

)，再令g（x）=xn+

1

xn

（x＞0），运用导数求出单调性和最值，
即可得到F（x）在[

1

2

，1）上递减，在（1，2]上递增，进而得到F（x）的最值，进而得到乘积．

解答： 解：由二项式定理，可得，
（x²+

1

x

）ⁿ=

C

0 n

x2n+

C

1 n

x2n-2•

1

x

+…+

C

r n

(x2)n-r(

1

x

)r+…+

C

n n

1

xn

．
（

1

x2

+x）ⁿ=

C

0 n

(

1

x2

)n+

C

1 n

(

1

x2

)n-1x+…+

C

r n

(

1

x2

)n-rxr+…+

C

n n

xn．
则F（x）=

C

0 n

(x2n+

1

x2n

)+

C

1 n

（x2n-3+

1

x2n-3

）+…+

C

r n

(x2n-3r+

1

x2n-3r

)
+…+

C

n n

(xn+

1

xn

)，
令g（x）=xn+

1

xn

（x＞0），g′（x）=nx^n-1-

n

xn+1

=n•

x2n-1

xn+1

，
g′（x）＞0，即有x²ⁿ＞1，即x＞1；g′（x）＜0，即有x²ⁿ＜1，即0＜x＜1．
即有g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
则F（x）在[

1

2

，1）上递减，在（1，2]上递增，
即有x=1取最小值，且为2ⁿ⁺¹，
由于F（

1

2

）=F（2）=（

9

2

）ⁿ+（

9

4

）ⁿ，且为最大值，
则最大值与最小值的积为：2ⁿ⁺¹•[（

9

2

）ⁿ+（

9

4

）ⁿ]=2[9ⁿ+（

9

2

）ⁿ]．
故答案为：2[9ⁿ+（

9

2

）ⁿ]．

点评：本题考查二项式定理及运用，考查导数的运用：判断单调性和求极值、最值，考查运算能力，属于难题．