Question

已知圆C过原点O，且与直线x+y=4相切于点A（2，2）．
（1）求圆C的方程；
（2）过原点O作射线交圆C于另一点M，交直线x=3于点N．
①OM•ON是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；
②若射线OM上一点P（x₀，y₀）满足OP²=OM•ON，求证：x₀³+x₀y₀²-6x₀-6y₀=0．

Answer 1

分析：（1）根据题意得到圆心即为线段OA的中点，求出线段OA中点坐标即为圆心，求出圆心到A的距离即为半径r，写出圆C方程即可；
（2）①设射线方程为y=kx，代入圆C方程，消去y得到关于x的一元二次方程，求出M的横坐标，根据射线与x=3相交，得到M横坐标与3同号，确定出k大于-1，利用两点的距离公式表示出OM•ON，化简后根据k的范围确定出其值不存在最小值；
②由P坐标表示出OP，将OM•ON与OP的值代入OP²=OM•ON，再将k=

y0

x0

代入化简即可得证．

解答：解：（1）由题意得：圆心为OA的中点（1，1），半径r=

12+12

=

2

，
∴圆C的方程为（x-1）²+（y-1）²=2；
（2）①设射线所在直线方程为y=kx，
将它代入（x-1）²+（y-1）²=2得：（k²+1）x²-（2k+2）x=0，
∴x_M=

2k+2

k2+1

，
∵射线y=kx与直线x=3相交，
∴x_M与3同号，
∴k＞-1，
∴OM•ON=

xM2+yM2

•

xN2+yN2

=

(2k+2)2+(2k2+2k)2 (k2+1)2

•

9+(3k)2

=3|2k+2|=6k+6，
∵k＞-1，
∴OM•ON无最小值；
②证明：∵OP²=OM•ON，
∴x₀²+y₀²=6k+6，
又y₀=kx₀，
∴k=

y0

x0

代入上式得：x₀³+x₀y₀²-6x₀-6y₀=0．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，线段中点坐标公式，直线斜率，熟练掌握公式是解本题的关键．