Question

6．设P为椭圆弧$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（x≥0，y≥0）上的一动点，又已知定点A（10，6），以P，A为矩形对角线的两端点，矩形的边平行于坐标轴，求此矩形的面积的最值．

Answer 1

分析 设椭圆上一点P（5cosα，3sinα），0≤α≤$\frac{π}{2}$，由题意可得矩形的边长为10-5cosα，6-3sinα，面积为S=（10-5cosα）（6-3sinα），求得导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，可得面积的最值．

解答 解：设椭圆上一点P（5cosα，3sinα），0≤α≤$\frac{π}{2}$，
由题意可得矩形的边长为10-5cosα，6-3sinα，
面积为S=（10-5cosα）（6-3sinα）
=15（2-cosα）（2-sinα），
S′=15[sinα（2-sinα）-cosα（2-cosα）]
=15（sinα-cosα）（2-sinα-cosα），
由于2-sinα-cosα=2-$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）＞0恒成立，
即有当0$≤α≤\frac{π}{4}$时，S′≤0，S在[0，$\frac{π}{4}$]递减，
当$\frac{π}{4}$＜α≤$\frac{π}{2}$时，S′＞0，S在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]递增．
则有当α=$\frac{π}{4}$时，取得最小值，且为$\frac{135}{2}$-30$\sqrt{2}$；
α=0时，S=30；α=$\frac{π}{2}$时，S=30，
则矩形的面积的最小值为$\frac{135}{2}$-30$\sqrt{2}$，最大值30．

点评 本题考查椭圆的参数方程的运用，同时考查导数的运用：求最值，考查三角函数的图象和性质，属于中档题．