Question

20．已知等差数列{a_n}的前n项和为 S_n，若a₁，a₂ ，a₄成等比数列，且S₃=12．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的公差d≠0，数列{c_n}满足a_n+1 =log₂（c_n-a_n）．求数列{c_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由于a₁，a₂ ，a₄成等比数列，且S₃=12．可得${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$，$3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d$=12，解出即可．
（2）由数列{a_n}的公差d≠0，可得a_n=2n．由于数列{c_n}满足a_n+1 =log₂（c_n-a_n）．可得c_n=2n+4ⁿ⁺¹．利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁，a₂ ，a₄成等比数列，且S₃=12．
∴${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$，即$（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+3d）$，$3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d$=12，
解得a₁=d=2或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=4}\\{d=0}\end{array}\right.$．
∴a_n=2+2（n-1）=2n或a_n=4．
（2）∵数列{a_n}的公差d≠0，∴a_n=2n．
∵数列{c_n}满足a_n+1 =log₂（c_n-a_n）．
∴${c}_{n}-{a}_{n}={2}^{{a}_{n+1}}$，
∴c_n=2n+2²ⁿ⁺²=2n+4ⁿ⁺¹．
∴数列{c_n}前n项和T_n=$\frac{n（2+2n）}{2}$+$\frac{16（{4}^{n}-1）}{4-1}$
=n²+n+$\frac{{4}^{n+2}-16}{3}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．