Question

10．在平面直角坐标系中，A（1，1），B（2，3），C（s，t），P（x，y），△ABC是等腰直角三角形，B为直角顶点．
（1）求点C（s，t）；
（2）设点C（s，t）是第一象限的点，若$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$-m$\overrightarrow{AC}$，m∈R，则m为何值时，点P在第二象限？

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{AB}$=（1，2），$\overrightarrow{BC}$=（s-2，t-3），由于△ABC是等腰直角三角形，B为直角顶点．可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=0，$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|$，即$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{（s-2）^{2}+（t-3）^{2}}$，联立解出即可．
（2）利用向量坐标运算性质、点在第二象限的坐标特点即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$=（1，2），$\overrightarrow{BC}$=（s-2，t-3），
∵△ABC是等腰直角三角形，B为直角顶点．
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=s-2+2（t-3）=0，$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|$，即$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{（s-2）^{2}+（t-3）^{2}}$，
化简为s+2t-8=0，（s-2）²+（t-3）²=5，
联立解得$\left\{\begin{array}{l}{s=0}\\{t=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{s=4}\\{t=2}\end{array}\right.$．
∴C（0，4），或（4，2）．
（2）∵点C（s，t）是第一象限的点，∴C（4，2）．
设P（x，y），
∵$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$-m$\overrightarrow{AC}$，m∈R，
∴（x-1，y-1）=（1，2）-m（3，1）=（1-3m，2-m）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1=1-3m}\\{y-1=2-m}\end{array}\right.$，
解得x=2-3m，y=3-m．
∵点P在第二象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2-3m＜0}\\{3-m＞0}\end{array}\right.$，解得$\frac{2}{3}＜m＜3$．
∴m∈$（\frac{2}{3}，3）$，点P在第二象限．

点评 本题考查了向量坐标运算性质、点在第二象限的坐标特点、向量垂直与数量积的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．