Question

1．在△ABC中，a+c=2b，A-C=60°，则sinB=$\frac{\sqrt{39}}{8}$．

Answer 1

分析 由正弦定理把原等式中的边转化为角的正弦，整理成sin[$\frac{A+C}{2}$+$\frac{A-C}{2}$]+sin[$\frac{A+C}{2}$-$\frac{A-C}{2}$]=2sinB的形式，利用两角和公式和二倍角公式化简整理可求得sin$\frac{B}{2}$的值，进而求得cos$\frac{B}{2}$的值，最后利用二倍角公式求得答案．

解答 解：∵a+c=2b，
∴sinA+sinC=2sinB，
∴sin[$\frac{A+C}{2}$+$\frac{A-C}{2}$]+sin[$\frac{A+C}{2}$-$\frac{A-C}{2}$]=2sinB，
即2sin$\frac{A+C}{2}$•cos$\frac{A-C}{2}$=2sinB，
即2sin$\frac{π-B}{2}$cos$\frac{60°}{2}$=2sinB，
即2cos$\frac{B}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$，
求得sin$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵A-C=60°，a+c=2b，
∴∠B是锐角
即cos$\frac{B}{2}$=$\sqrt{1-si{n}^{2}\frac{B}{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$
∴sinB=2sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$=2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$\frac{\sqrt{13}}{4}$=$\frac{\sqrt{39}}{8}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{39}}{8}$．

点评 本题主要考查了正弦定理的运用，两角和公式的运用．解题的关键是构造出A+B和A-B的角来．