Question

18．若复数z满足z²=$\overline{z}$，则复数z的个数为4个．

Answer 1

分析 设z=a+bi（a，b∈R），由于复数z满足z²=$\overline{z}$，可得a²-b²+2abi=a-bi，利用复数相等可得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}=a}\\{2ab=-b}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：设z=a+bi（a，b∈R），∵复数z满足z²=$\overline{z}$，
∴（a+bi）²=a-bi，
化为a²-b²+2abi=a-bi，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}=a}\\{2ab=-b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{a=0或1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{b=±\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{a=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴z=0，或1，或$\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{3}}{2}i$，
故答案为：4．

点评 本题考查了复数运算法则、复数相等、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．