Question

2．已知点D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，则$\overrightarrow{EA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{0}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{EA}$=$\overrightarrow{EC}$+$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{FB}$=$\overrightarrow{FC}$+$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{BC}$，三项相加：$\overrightarrow{EA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{EC}$+$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{CF}$，又$\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{EF}$且点D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，可得|$\overrightarrow{EF}$|=|$\overrightarrow{DB}$|，且$\overrightarrow{EF}$与$\overrightarrow{DB}$方向相反，从而得解$\overrightarrow{EA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{DC}$=0．

解答 解：∵$\overrightarrow{EA}$=$\overrightarrow{EC}$+$\overrightarrow{CA}$，
$\overrightarrow{FB}$=$\overrightarrow{FC}$+$\overrightarrow{CB}$，
$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{BC}$
∴三项相加：$\overrightarrow{EA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{EC}$+$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{FC}$+$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{EC}$+$\overrightarrow{FC}$+$\overrightarrow{DB}$+2$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{EC}$+$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{CF}$，
又∵$\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{EF}$且点D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，
∴|$\overrightarrow{EF}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{DB}$|
又∵$\overrightarrow{EF}$与$\overrightarrow{DB}$方向相反
∴$\overrightarrow{EA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{EC}$+$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{0}$．
故答案为：$\overrightarrow{0}$．

点评 本题主要考查了向量的加法及其几何意义，属于基本知识的考查．