Question

15．在平面直角坐标系xOy中，点A（-1，-2），B（2，3），C（-2，-1）．
（1）若以线段AB，AC为邻边构成平行四边形ABDC，求线段AD的长；
（2）已知平面向量$\overrightarrow{a}$=t$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow{b}$=（1，5+t）（其中t∈R），求函数f（t）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$取最小值时向量$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）利用向量的平行四边形法则可得：$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$，再利用向量的模的计算公式即可得出．
（2）平面向量$\overrightarrow{a}$=t$\overrightarrow{AC}$=（-t，t）．函数f（t）=（t+2）²-4，当t=-2时，f（t）取得最小值，此时：$\overrightarrow{a}$=（2，-2），$\overrightarrow{b}$=（1，7）．利用向量$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$=（3，5），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1），
∵以线段AB，AC为邻边构成平行四边形ABDC，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=（2，6）．
∴$|\overrightarrow{AD}|$=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=$2\sqrt{10}$．
（2）平面向量$\overrightarrow{a}$=t$\overrightarrow{AC}$=（-t，t）．
函数f（t）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-t+t（5+t）=t²+4t=（t+2）²-4，
当t=-2时，f（t）取得最小值，
此时：$\overrightarrow{a}$=（2，-2），$\overrightarrow{b}$=（1，3）．
∴向量$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-4}{\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}}$=-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了向量的坐标运算、数量积运算性质、向量的平行四边形法则、向量的投影，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．