Question

7．若对任意的x＞1，x²+3≥a（x-1）恒成立，则实数a的最大值是6．

Answer 1

分析 运用参数分离法，化简函数的表达式，利用基本不等式求出左侧的最小值，即可得出结论．

解答 解：对任意的x＞1，x²+3≥a（x-1）恒成立，即为a≤$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$，
由$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$=x-1+$\frac{4}{x-1}$+2≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{4}{x-1}}$+2=6，
当且仅当x=3时等号成立．（$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$）_min=6，
对任意的x＞1，$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$≥a恒成立，
就是a≤（$\frac{{x}^{2}+3}{x-1}$）_min=6，
即a的最大值是6．
故答案为：6．

点评 本题考查基本不等式在最值中的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．