Question

【题目】对于双曲线，定义为其伴随曲线，记双曲线的左、右顶点为、．

（1）当时，记双曲线的半焦距为，其伴随椭圆的半焦距为，若，求双曲线的渐近线方程．

（2）若双曲线的方程为，弦轴，记直线与直线的交点为，求其动点的轨迹方程．

（3）过双曲线的左焦点，且斜率为的直线与双曲线交于两点，求证：对任意的，在伴随曲线上总存在点，使得．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）利用双曲线的、、的关系及椭圆的、、的关系及双曲线的渐近线的方程即可得出；（2）设出点、的坐标，利用点斜式得出直线、的方程，联立即可得出交点的坐标，反解出点的坐标，利用代点法即可求出轨迹；（3）设出直线的方程，并与双曲线的方程联立，利用根与系数的关系及已知条件求出的范围，再求出伴随曲线上的任意一点到点的距离的平方的取值范围，即可判断出结论是否成立．

（1）∵，，由，

得，即

可得，

∴的渐近线方程为；

（2）设，，

又、，

∴直线的方程为…①

直线的方程为…②，

由①②得，

∵在双曲线上，

∴，整理得．

（3）证明：点的坐标为，直线的方程为，

设、的坐标分别为、，

则由得，

即，

当时，

∵，

∴，，

，

由知，

∴．

∵双曲线的伴随曲线是圆，

圆上任意一点到的距离，

∴，

∵

∴对任意的，在伴随曲线上总存在点，使得．