Question

【题目】设为给定的不小于的正整数，考察个不同的正整数，，，构成的集合，若集合的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等，则称集合为“差异集合”．

（1）分别判断集合，集合是否是“差异集合”；（只需写出结论）

（2）设集合是“差异集合”，记，求证：数列的前项和；

（3）设集合是“差异集合”，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）集合不是，集合是；（2）见解析；（3）最大值为

【解析】

（1）利用定义直接判断

（2）利用定义得，则

即可证明

（3）不妨设，变形

结合， 即可证明

（1）集合不是，因为，即子集与子集元素之和相等；

集合是，因为集合的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等.

（2）由集合是“差异集合”知：的个非空子集元素和为互不相等的个正整数，

于是，所以

（3）不妨设，考虑

而，所以

当时，；

综上，的最大值为.