Question

【题目】如图所示的几何体中，正方形所在平面垂直于平面，四边形为平行四边形，为上一点，且平面，.

（1）求证：平面平面；

（2）当三棱锥体积最大时，求直线与平面所成角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）易证平面，进而可得，由平面，得，从此即可得证；

（2）由等体积法分析得当最大时，三棱锥体积最大，此时，

（1）因为平面平面，平面平面，

四边形为正方形，即，平面，

所以平面，

又因为平面，所以，

因为平面，平面，

所以，

因为，平面，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面．

（2），

求三棱锥体积的最大值，只需求的最大值．

令，，

由（1）知，，

所以，当且仅当，

即时，，

因为四边形为平行四边形，所以，

因为平面，

所以直线与平面所成角的正切值为．