Question

（2006•东城区二模）已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PEC；
（2）求PC与平面ABCD所成角的大小；
（3）求二面角P-EC-D的大小．

Answer 1

分析：（1）取PC的中点H，连接FH，EH，证明四边形AEHF是平行四边形，然后利用直线与平面平行的判定定理证明AF∥平面PEC；
（2）连接AC，说明PC与平面ABCD所成的角的大小，就是∠PCA；在Rt△PAC中，求PC与平面ABCD所成的角的大小；
（3）延长CE至O，使得AO⊥CE于O，连接PO，说明∠POA就是二面角P-EC-D的大小，利用三角形相似，求出AO，在Rt△PAO中，求出二面角P-EC-D的大小．

解答：解：（1）取PC的中点H，连接FH，EH，
因为E、F分别是AB、PD的中点．
所以FH∥DC，FH=

1

2

DC，又AB∥DC，
∴FH∥AE，并且FH=AE．
∴四边形AEHF是平行四边形，
∴AF∥EH，∵EH?平面PEC，AF?平面PEC，
所以AF∥平面PEC；
（2）连接AC，因为PA⊥平面ABCD，
所以PC与平面ABCD所成的角的大小，就是∠PCA；
因为底面ABCD是矩形，PA=AD=1，AB=2，
所以AC=

12+22

=

5

，
在Rt△PAC中∴tan∠PCA=

PA

AC

=

1

5

=

5

5

，
∠PCA=arctan

5

5

．
（3）延长CE至O，使得AO⊥CE于O，
连接PO，因为PA⊥平面ABCD，
所以∠POA就是二面角P-EC-D的大小，
在Rt△AOE与Rt△EBC中，易得
Rt△AOE∽Rt△EBC，
所以

AO

BC

= 

AE

EC

，EC=

EB2+BC2

=

2

，
所以AO=AO=

AE•BC

EC

=

1×1

2

=

2

2

，
在Rt△PAO中，tan∠POA=

PA

AO

=

1

2 2

=

2

，
所以所求的二面角P-EC-D的大小为：arctan

2

．

点评：本题是中档题，考查直线与平面的平行，直线与平面所成的角的大小，二面角的大小的求法，正确作出有关的角是解题的关键，考查定理的应用，空间想象能力，计算能力．