Question

（2006•东城区二模）已知椭圆M的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），P是此椭圆上的一点，且

PF1

•

PF2

=0，

|PF1|

•

|PF2|

=8．
（1）求椭圆M的方程；
（2）点A是椭圆M短轴的一个端点，且其纵坐标大于零，B、C是椭圆上不同于点A的两点，若△ABC的重心是椭圆的右焦点，求直线BC的方程．

Answer 1

分析：（1）设|

PF1

|=m，|

PF2

| =n，由

m2+n2=4 mn=8 m+n=2a

，能求出椭圆M的方程．
（2）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），A（0，2），由重心公式，得

x1+x2=3 y1+y2+2=0

，由此能求出直线BC的方程．

解答：解：（1）设|

PF1

|=m，|

PF2

| =n，
由

m2+n2=4 mn=8 m+n=2a

，
∴a=

5

，c=1，b=2，
∴

x2

5

+

y2

4

=1．
（2）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），A（0，2），
由重心公式，得

x1+x2=3 y1+y2+2=0

，
∴线段BC的中点为D（

3

2

，-1），
将点B，C代入椭圆方程，再相减，
得

(x1+x2)(x1-x2)

5

+

(y1+y2)(y1-y2)

4

=0，
∴k=

6

5

，
由点斜式得6x-5y-14=0．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．