Question

如图，四边形ABCD是矩形，AD=2，DC=1，AB⊥平面BCE，BE⊥EC，EC=1．点F为线段BE的中点．
（ I ）求证：CE⊥平面ABE；
（Ⅱ）求证：DE∥平面A CF；
（Ⅲ）求AC和平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知AB⊥平面BCE，证出AB⊥CE，又BE⊥EC，直接利用线面垂直的判定定理得到结论；
（Ⅱ）由F为线段BE的中点，设想连结BD交AC于点M得到BD的中点M，由三角形的中位线定理得到线线平行，从而证明线面平行；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，CE⊥平面ABE，∠CAE即为AC和平面ABE所成的角，在直角三角形ACE中，直接解直角三角形可得结论．

解答：（Ⅰ）证明：如图，
由AB⊥平面BCE，可得AB⊥CE，
又由BE⊥EC，而AB∩BE=B，AB?平面ABE，BE?平面ABE，
故CE⊥平面ABE；
（Ⅱ）证明：连结BD交AC于M，连结FM，由点F为线段BE的中点，
可得FM∥DE，而FM?平面ACF，DE?平面ACF，故DE∥平面ACF；
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，CE⊥平面ABE，∠CAE即为AC和平面ABE所成的角．
由已知，AC=

5

，CE=1，
在直角三角形ACE中，可得sin∠CAE=

CE

AC

=

5

5

．
即AC和平面ABE所成角的正弦值为

5

5

．

点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了直线与平面平行的判定，考查了线面角，解答的关键是创造使判定定理成立的条件，线面平行的判定常借助于三角形的中位线解决，是中档题．