Question

设函数设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数，g（x）=f（x）+f'（x）．
（1）求g（x）的单调区间和最小值；
（2）讨论g（x）与的大小关系；
（3）是否存在x₀＞0，使得对任意x＞0成立？若存在，求出x₀的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由f（1）=0，导函数可知f（x）=lnx，x＞0，
∵g（x）=f（x）+f'（x），∴．
求导函数可得，
所以当x∈（0，1）时，g'（x）＜0；x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，
故函数的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1），极小值为g（1）=1
∵函数在定义域上仅有一个极小值，∴也为最小值，最小值为g（1）=1．
（2）设，则，故函数在定义域内为减函数，
∵φ（1）=0，
∴当x∈（0，1）时，φ（x）＞0，即g（x）＞；x∈（1，+∞）时，φ（x）＜0，即g（x）＜；x=1时，g（x）=．
（3）假设存在满足题设的x₀，则，对任意x＞0成立，
从而有
∵lnx→+∞，
∴无解，故不存在．
分析：（1）根据题意求出f（x）的解析式，代入g（x）=f（x）+f′（x）．求出g（x），求导，根据导数的正负取得函数的单调区间，从而可得函数的最小值；
（2）构造函数φ（x），利用导数求该函数的最小值，从而求得g（x）与的大小大小关系；
（3）假设存在x₀＞0，使得对任意x＞0成立，转化为封闭型命题，利用研究函数的最值可得结论．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，考查分类讨论的思想方法．其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．