Question

【题目】已知函数f（x）= （x≠1）
（1）证明f（x）在（1，+∞）上是减函数；
（2）令g（x）=lnf（x），判断g（x）=lnf（x）的奇偶性并加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）证明： ，设x1＞x2＞1，则：

= ；

∵x1＞x2＞1；

∴x2﹣x1＜0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0；

∴ ；

∴f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在（1，+∞）上是减函数

（2）解： ；

∴ ；

解 得，x＜﹣1，或x＞1；

；

∴g（x）为奇函数

【解析】（1）分离常数得到 ，根据减函数的定义，设任意的x1＞x2＞1，然后作差，通分，证明f（x1）＜f（x2）即得出f（x）在（1，+∞）上是减函数；（2）先求出 ，然后求g（x）的定义域，并根据对数的运算求出g（﹣x）=﹣g（x），这样便得出g（x）为奇函数．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数单调性的判断方法(单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较)，还要掌握函数的奇偶性(偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称)的相关知识才是答题的关键．