Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）．
（1）求p的值；
（2）以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧

MN

的长度为S，当直线l绕F旋转时，求

S

|AB|

的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,直线与圆的位置关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出l的方程为y=x+

p

2

，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出AB中点坐标，推出中垂线方程，结合AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）．求出p即可．
（2）设l的方程为y=kx+1，代入x²=4y，求出AB的距离以及AB中点为D（2k，2k²+1），令∠MDN=2α，求出S的表达式，推出关系式

S

|AB|

=α，利用D到x轴的距离|DE|=2k²+1，求出cosα=

|DE|

1 2 |AB|

=

2k2+1

2k2+2

，然后求解

S

|AB|

的最大值．

解答： 解：（1）抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，F(0，

p

2

)，
当l的倾斜角为45°时，l的方程为y=x+

p

2

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=x+ p 2 x2=2py

，得x²-2px-p²=0，
x₁+x₂=2p，y₁+y₂=x₁+x₂+p=3p，得AB中点为D(p，

3

2

p)…（3分）
AB中垂线为y-

3

2

p=-(x-p)，
x=0代入得y=

5

2

p=5．
∴p=2…（6分）
（2）设l的方程为y=kx+1，代入x²=4y得x²-4kx-4=0，
|AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4，
AB中点为D（2k，2k²+1）
令∠MDN=2α，S=2α•

1

2

|AB|=α•|AB|，
∴

S

|AB|

=α…（8分）
D到x轴的距离|DE|=2k²+1，
cosα=

|DE|

1 2 |AB|

=

2k2+1

2k2+2

…（10分）     
当k²=0时cosα取最小值

1

2

，α的最大值为

π

3

．
故

S

|AB|

的最大值为

π

3

．…（12分）

点评：本题考查直线与抛物线方程的位置关系，直线与直线的位置关系，以及圆的方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．