Question

已知椭圆：（）过点（2,0），且椭圆C的离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且为线段中点，再过作直线．求直线是否恒过定点，若果是则求出该定点的坐标，不是请说明理由。

Answer 1

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）利用点在椭圆上与离心率求其系数，得到椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆的方程，整理成关于的一元二次方程，利用中点坐标公式或两直线垂直得到直线的方程，化成点斜式，进而得到定点．

试题解析：

因为点在椭圆上，所以，所以；

因为椭圆的离心率为，所以，即，

解得， 所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）设，，

①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，

由得，

所以，因为为中点，所以，

即．

所以，

因为直线，所以，

所以直线的方程为，即 ，

显然直线恒过定点．

②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

此时直线为轴，也过点．

综上所述直线恒过定点．

考点：1．椭圆的坐标方程；2．直线与椭圆的位置关系；3．直线过定点问题．

考点分析： 考点1：椭圆的标准方程 考点2：椭圆的几何性质 试题属性

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