Question

（本小题满分12分）设函数．

（1）若函数是定义域上的单调函数，求实数的取值范围；

（2）若，试比较当时，与的大小；

（3）证明：对任意的正整数，不等式成立．

Answer 1

（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为（或恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到；（2）对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）恒成立，（2）恒成立；（3）数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题，用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值是多少，由时等式成立，推出时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异），明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写.

试题解析：（1）∵又函数在定义域上是单调函数.

∴ 或在上恒成立

若在上恒成立，即函数是定义域上的单调地增函数，则在上恒成立，由此可得；

若在上恒成立，则在上恒成立.即在上恒成立.

∵在上没有最小值

∴不存在实数使在上恒成立.

综上所述，实数的取值范围是. 4分

（2）当时，函数.

令

则

显然，当时，，

所以函数在上单调递减

又，所以，当时，恒有，

即恒成立.

故当时，有 8分

（3）数学归纳法

证明：1、当时，左边=，右边=，原不等式成立。

2、设当时，原不等式成立，

即

则当时，

左边=

只需证明

即证

即证

由（2）知

即

令，即有

所以当时成立

由1、2知，原不等式成立

考点：1、函数单调性的应用；2、恒成立的问题；3、数学归纳法的应用.

考点分析： 考点1：导数及其应用 试题属性

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