Question

梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=2，CD=1，P是腰AD所在直线上任意一点，则|3

PC

+2

PD

|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设AD=m，D（

1

2

m，

3

2

m），C（1+

1

2

m，

3

2

m），
P（t，

3

t），求出向量PC，PD的坐标，令

1

2

m-t=k，最后根据模的公式求出关于k的表达式，根据二次函数的性质求出最值即可．

解答： 解：以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，
建立如图的直角坐标系，
设AD=m，D（

1

2

m，

3

2

m），C（1+

1

2

m，

3

2

m），
P（t，

3

t），
则

PC

=（1+

1

2

m-t，

3

2

m-

3

t），

PD

=（

1

2

m-t，

3

2

m-

3

t），
令

1

2

m-t=k，则

PC

=（1+k，

3

k），

PD

=（k，

3

k）
则有|3

PC

+2

PD

|=|（3+5k，5

3

k）|=

(3+5k)2+75k2

=

100k2+30k+9

≥

4×100×9-302 4×100

=

3 3

2

，
当且仅当k=-

3

20

，时，取得最小值

3 3

2

．
故答案为：

3 3

2

．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查坐标法解题的方法以及二次函数的性质，考查运算能力，属于中档题．