Question

9．在直角三角形ABC中，∠C=$\frac{π}{2}$，AB=2，AC=1，若$\overrightarrow{AD}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$，则$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{CB}$=$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 根据结合图形得出$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$$+\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{CA}$$+\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{CB}$=0，$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{CB}$=2×$\sqrt{3}$×COS30°，转化得出$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{CB}$=（$\overrightarrow{CA}$$+\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$）•$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{CB}$+$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{CB}$求解即可．

解答 解：∵直角三角形ABC中，∠C=$\frac{π}{2}$，AB=2，AC=1，
∴根据勾股定理得出BC=$\sqrt{3}$，sin∠ABC═$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，即∠ABC=30°
∵若$\overrightarrow{AD}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$$+\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{CA}$$+\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{CB}$=0，$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{CB}$=2×$\sqrt{3}$×COS30°=3
∴$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{CB}$=（$\overrightarrow{CA}$$+\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$）•$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{CB}$+$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{CB}$=$0+\frac{3}{2}$×3=$\frac{9}{2}$



故答案为：$\frac{9}{2}$

点评 本题考查了平面向量的几何运算，数量积，结合结合图形分解向量，属于中档题，关键是转化为容易计算的向量．