Question

16．已知椭圆x²+（m+3）y²=m（m＞0）的离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点的坐标、顶点的坐标、准线方程．

Answer 1

分析 化椭圆方程为标准方程，结合$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$求得m值，则椭圆的长轴和短轴的长、焦点的坐标、顶点的坐标、准线方程可求．

解答 解：由椭圆x²+（m+3）y²=m（m＞0），得
$\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{\frac{m}{m+3}}=1$，
由m-$\frac{m}{m+3}$=$\frac{{m}^{2}+2m}{m+3}$＞0，
可知椭圆x²+（m+3）y²=m（m＞0）是焦点在x轴上的椭圆，
且${a}^{2}=m，{b}^{2}=\frac{m}{m+3}$，
∴c=$\sqrt{\frac{{m}^{2}+2m}{m+3}}$，
由e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{\frac{{m}^{2}+2m}{m+3}}}{\sqrt{m}}=\sqrt{\frac{m+2}{m+3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得m=1．
∴a=1，b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴椭圆的长轴和短轴的长、焦点的坐标、顶点的坐标、准线方程分别为2，1，F（$±\frac{\sqrt{3}}{2}，0$），A（±1，0），B（0，±$\frac{1}{2}$），x=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，是基础题．